WikiDer > Пифагорейская черепица

Pythagorean tiling

Пифагорейская мозаика
Уличные музыканты у дверей, Джейкоб Охтервельт, 1665. По наблюдениям Нельсена[1] напольная плитка на этой картине укладывается в пифагорейскую плитку.

А Пифагорейская черепица или же тесселяция двух квадратов это черепица из Евклидово самолет квадраты двух разных размеров, в которых каждый квадрат касается четырех квадратов другого размера с четырех сторон. Многие доказательства теорема Пифагора основаны на нем,[2] объясняя свое название.[1] Обычно он используется как образец для напольная плитка. При использовании для этого он также известен как классики[3] или же вертушка,[4]но его не следует путать с математическим вертушка черепица, несвязанный шаблон.[5]

Эта плитка имеет четырехстороннюю вращательная симметрия вокруг каждого его квадрата. Когда отношение длин сторон двух квадратов равно иррациональный номер такой как Золотое сечение, его поперечные сечения образуют апериодические последовательности с аналогичной рекурсивной структурой Слово Фибоначчи. Также были изучены обобщения этого разбиения на три измерения.

Топология и симметрия

Пифагорова мозаика - это уникальная мозаика квадратами двух разных размеров, которые одновременно односторонний (нет двух квадратов с общей стороной) и равнопереходный (каждые два квадрата одинакового размера могут быть отображены друг в друга симметрией мозаики).[6]

Топологически мозаика Пифагора имеет ту же структуру, что и усеченная квадратная мозаика квадратами и регулярными восьмиугольники.[7] Меньшие квадраты в мозаике Пифагора примыкают к четырем большим плиткам, как и квадраты в усеченной квадратной мозаике, в то время как большие квадраты в мозаике Пифагора соседствуют с восемью соседями, которые чередуются между большими и маленькими, точно так же, как восьмиугольники в мозаике усеченная квадратная мозаика. Однако эти две мозаики имеют разные наборы симметрии, потому что усеченная квадратная мозаика симметрична относительно зеркальных отражений, тогда как мозаика Пифагора - нет. Математически это можно объяснить, сказав, что укороченная квадратная мозаика имеет двугранный симметрия относительно центра каждой плитки, в то время как пифагорейская плитка имеет меньшую циклический набор симметрий вокруг соответствующих точек, давая ему симметрия p4.[8] Это хиральный узор, означающий, что невозможно наложить его поверх зеркального изображения, используя только переводы и вращения.

А равномерная черепица - это мозаика, в которой каждая плитка является правильным многоугольником и каждая вершина может быть отображена в любую другую вершину посредством симметрии мозаики. Обычно равномерные мозаики дополнительно требуются для того, чтобы плитки соответствовали друг другу, но если это требование ослаблено, появляется восемь дополнительных однородных мозаик. Четыре образуются из бесконечных полос квадратов или равносторонних треугольников, а три - из равносторонних треугольников и правильных шестиугольников. Остающийся - это мозаика Пифагора.[9]

Теорема Пифагора и разрезы

Пятичастные разрезы, использованные в доказательствах Аль-Найризи и Табит ибн Курра (слева) и Генри Перигал (верно)

Эта мозаика называется мозаикой Пифагора, потому что она использовалась в качестве основы для доказательства теорема Пифагора исламскими математиками девятого века Аль-Найризи и Табит ибн Курра, и британский математик-любитель XIX века Генри Перигал.[1][10][11][12] Если стороны двух квадратов, образующих мозаику, - это числа а и б, то ближайшее расстояние между соответствующими точками на конгруэнтных квадратах равно c, куда c это длина гипотенуза из прямоугольный треугольник имея стороны а и б.[13] Например, на иллюстрации слева два квадрата в мозаике Пифагора имеют длину стороны 5 и 12 единиц, а длина стороны тайлов в перекрывающей квадратной мозаике равна 13, исходя из Пифагорейская тройка (5,12,13).

Наложив квадратную сетку со стороной c на плитку Пифагора, его можно использовать для создания пятиэлементной рассечение двух неравных квадратов сторон а и б в один квадрат стороны c, показывая, что два меньших квадрата имеют такую ​​же площадь, как и больший. Точно так же наложение двух пифагоровых мозаик можно использовать для создания разделения из шести частей двух неравных квадратов на два разных неравных квадрата.[10]

Апериодические сечения

Апериодическая последовательность, образованная из мозаик двумя квадратами, длины сторон которых образуют Золотое сечение

Хотя мозаика Пифагора сама по себе является периодической (она имеет квадратная решетка трансляционной симметрии) его поперечные сечения можно использовать для создания одномерных апериодический последовательности.[14]

В «конструкции Клотца» для апериодических последовательностей (Клотц - немецкое слово для обозначения блока) один формирует пифагорову мозаику из двух квадратов, размеры которых выбираются так, чтобы соотношение между длинами двух сторон было равным иррациональный номер Икс. Затем выбирается линия, параллельная сторонам квадратов, и формируется последовательность двоичных значений из размеров квадратов, пересекаемых линией: 0 соответствует пересечению большого квадрата, а 1 соответствует пересечению небольшой квадрат. В этой последовательности относительное соотношение нулей и единиц будет в соотношении Икс: 1. Эта пропорция не может быть достигнута с помощью периодической последовательности нулей и единиц, потому что она иррациональна, поэтому последовательность является апериодической.[14]

Если Икс выбран в качестве Золотое сечение, генерируемая таким образом последовательность нулей и единиц имеет ту же рекурсивную структуру, что и Слово Фибоначчи: его можно разбить на подстроки вида «01» и «0» (то есть нет двух подряд идущих подряд), и если эти две подстроки последовательно заменяются более короткими строками «0» и «1», то другая строка с такой же структурой результатов.[14]

Связанные результаты

В соответствии с Гипотеза Келлера, любое замощение плоскости равными квадратами должно включать два квадрата, пересекающихся от края до края.[15] Ни один из квадратов в мозаике Пифагора не пересекается от края до края,[6] но этот факт не противоречит гипотезе Келлера, потому что плитки имеют разные размеры, поэтому не все они конгруэнтны друг другу.

Пифагорова мозаика может быть обобщена до трехмерной мозаики Евклидово пространство кубиками двух разных размеров, который также является односторонним и равнопереходным. Аттила Бёльчкей называет эту трехмерную мозаику Роджерс наполнение. Он предполагает, что в любом измерении, превышающем три, снова существует уникальный односторонний и равнопереходный способ замощения пространства путем гиперкубы двух разных размеров.[16]

Бернс и Ригби нашли несколько прототипы, в том числе Коха снежинка, который можно использовать для мозаики плоскости только с использованием копий прототипа двух или более разных размеров.[17] В более ранней работе Данцера, Грюнбаума и Шепарда приводится другой пример - выпуклый пятиугольник, который покрывает плоскость плиткой только в сочетании двух размеров.[18] Хотя мозаика Пифагора использует два разных размера квадратов, квадрат не имеет того же свойства, что и эти прототипы, - мозаику только по сходству, потому что также можно мозаику плоскости, используя только квадраты одного размера.

Заявление

Раннее структурное применение пифагорейской мозаики появляется в работах Леонардо да Винчи, который рассмотрел это среди нескольких других потенциальных моделей для перекрытия пола.[19] Эта плитка также издавна использовалась в декоративных целях, для напольная плитка или другие подобные шаблоны, как, например, можно увидеть в Джейкоб Охтервельткартина Уличные музыканты у дверей (1665).[1] Было высказано предположение, что, видя похожую плитку во дворце Поликрат мог предоставить Пифагор с оригинальным вдохновением для его теоремы.[13]

Рекомендации

  1. ^ а б c d Нельсен, Роджер Б. (ноябрь 2003 г.), «Картины, мозаики и корректуры» (PDF), Математические горизонты, 11 (2): 5–8, Дои:10.1080/10724117.2003.12021741, S2CID 126000048. Перепечатано в Хаунспергер, Дина; Кеннеди, Стивен (2007), Край Вселенной: празднование десятилетия математических горизонтов, Spectrum Series, Mathematical Association of America, стр. 295–298, ISBN 978-0-88385-555-3. Смотрите также Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010), Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику, Математические экспозиции Дольчиани, 42, Математическая ассоциация Америки, стр. 168–169, ISBN 978-0-88385-348-1.
  2. ^ Уэллс, Дэвид (1991), «Тесселяция двух квадратов», Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin, Нью-Йорк: Penguin Books, стр.260–261, ISBN 0-14-011813-6.
  3. ^ «Как установить плитки с узором в классическом стиле», Руководства по дому, Хроники Сан-Франциско, получено 2016-12-12.
  4. ^ Редакторы Fine Homebuilding (2013), Ремонт ванной, Тонтон Пресс, стр. 45, ISBN 978-1-62710-078-6CS1 maint: дополнительный текст: список авторов (связь). Принципиальная схема, иллюстрирующая этот узор напольной плитки, представлена ​​ранее на стр. 42.
  5. ^ Радин, К. (1994), "Вертушки на плоскости", Анналы математики, 139 (3): 661–702, Дои:10.2307/2118575, JSTOR 2118575
  6. ^ а б Мартини, Хорст; Макай, Эндре; Солтан, Валериу (1998), «Односторонние мозаики плоскости квадратами трех размеров», Beiträge zur Algebra und Geometrie, 39 (2): 481–495, МИСТЕР 1642720.
  7. ^ Грюнбаум, Бранко; Шепард, Г.С. (1987), Плитки и узоры, W.H. Freeman, стр. 171.
  8. ^ Грюнбаум и Шепард (1987), п. 42.
  9. ^ Грюнбаум и Шепард (1987)С. 73–74.
  10. ^ а б Фредериксон, Грег Н. (1997), Разделы: самолет и фантазия, Cambridge University Press, стр. 30–31..
  11. ^ Агило, Франсеск; Фиол, Микель Анхель; Фиол, Мария Ллуиса (2000), "Периодические мозаики как метод рассечения", Американский математический ежемесячный журнал, 107 (4): 341–352, Дои:10.2307/2589179, JSTOR 2589179, МИСТЕР 1763064.
  12. ^ Грюнбаум и Шепард (1987), п. 94.
  13. ^ а б Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012), «Фалес и Пифагор», Геометрия по ее истории, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, стр. 3–26, Дои:10.1007/978-3-642-29163-0_1. См. В частности стр. 15–16.
  14. ^ а б c Steurer, Уолтер; Делуди, София (2009), «3.5.3.7 Строительство Клоца», Кристаллография квазикристаллов: концепции, методы и структуры., Серия Springer по материаловедению, 126, Springer, стр. 91–92, Дои:10.1007/978-3-642-01899-2, ISBN 978-3-642-01898-5.
  15. ^ Истинность его гипотезы для двумерных мозаик была известна уже Келлеру, но с тех пор она оказалась ложной для размерностей восемь и выше. Недавний обзор результатов, связанных с этой гипотезой, см. Цзун, Чуанмин (2005), «Что известно о единичных кубах», Бюллетень Американского математического общества, Новая серия, 42 (2): 181–211, Дои:10.1090 / S0273-0979-05-01050-5, МИСТЕР 2133310.
  16. ^ Бёльчкей, Аттила (2001), «Заполнение пространства кубиками двух размеров», Publicationes Mathematicae Debrecen, 59 (3–4): 317–326, МИСТЕР 1874434. Смотрите также Доусон (1984), который включает иллюстрацию трехмерного мозаичного изображения, приписываемого "Роджерсу", но цитируемого в статье 1960 г. Ричард К. Гай: Доусон, Р. Дж. М. (1984), "О заполнении пространства различными целыми кубами", Журнал комбинаторной теории, серия А, 36 (2): 221–229, Дои:10.1016/0097-3165(84)90007-4, МИСТЕР 0734979.
  17. ^ Бернс, Эйдан (1994), "78,13 фрактальных мозаик", Математический вестник, 78 (482): 193–196, Дои:10.2307/3618577, JSTOR 3618577. Ригби, Джон (1995), "79,51 мозаика плоскости с похожими многоугольниками двух размеров", Математический вестник, 79 (486): 560–561, Дои:10.2307/3618091, JSTOR 3618091.
  18. ^ Рисунок 3 из Данцер, Людвиг; Грюнбаум, Бранко; Шепард, Г.С. (1982), "Нерешенные проблемы: могут ли все плитки мозаики иметь пятикратную симметрию?", Американский математический ежемесячник, 89 (8): 568–570+583–585, Дои:10.2307/2320829, JSTOR 2320829, МИСТЕР 1540019.
  19. ^ Санчес, Хосе; Эскриг, Феликс (декабрь 2011 г.), «Рамки, созданные Леонардо с короткими деталями: аналитический подход», Международный журнал космических структур, 26 (4): 289–302, Дои:10.1260/0266-3511.26.4.289, S2CID 108639647.