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EIN von Neumann-Algebra oder W*-Algebra hat einige äquivalente Definitionen: Eine von Neumann-Algebra ist:

• ein involutiver Einheitsteil-Algebra des beschränkte Operatoren B(H) auf a Hilbert-Raum H, geschlossen zum ultraschwache Topologie;
• eine involutive Unteralgebra der beschränkten Operatoren auf einem Hilbert-Raum, so dass M gleich ihrer Bikommutante M ist;
• eine Einheit C* Algebra jetzt sofort vor-dual wenn Banach-Zimmer. Dieses Prädual ist bis auf Isomorphie eindeutig und gleich dem Raum von normale Funktionen zur von Neumann-Algebra.

Die Äquivalenz zwischen den ersten beiden Definitionen ist der Inhalt des bikommutanten Theorems von Neumann. Sie weist darauf hin, dass von Neumann-Algebren rein algebraisch charakterisiert werden können. Die Äquivalenz zwischen der ersten Definition und der letzten Definition ist wie folgt zu verstehen: Für jede von Neumann-Algebra gibt es a injektiv, (schwach-*)-(ultraschwach) kontinuierlich *-Homomorphismus auf die Menge der beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum. Damit lässt sich der komplette Aufbau einer von Neumann-Algebra konkret darstellen. Diese Situation ist analog zu dieser zuvor C*-Algebren.

Eine auf einem Hilbertraum mit abzählbarer Basis darstellbare von Neumann-Algebra wird zu ${Displaystil-Sigma}$endlich genannt.

Eine von Neumann-Algebra mit Trivial Center wird ein Faktor erwähnt.

Die von Neumann-Algebra ist nach dem ungarisch-amerikanischen Mathematiker benannt John von Neumann.

Geschichte

Von Neumann-Algebren wurden ab den 1930er Jahren unter dem Namen "Ringe von Operatoren" in einigen Arbeiten von . untersucht John von Neumann und Francis Murray, im Zusammenhang mit der Entwicklung einer strengen mathematischen Sprache, um Quantenmechanik beschreiben. Eine Aufschlüsselung der Faktoren nach Typ ist hier bereits gegeben. Von Neumann selbst sah Typ II₁ als der richtige Rahmen, um eine 'Quantengeometrie' oder 'stetige Geometrie' zu studieren (bezogen auf den kontinuierlichen Bereich der Dimensionsfunktion). Weitere physikalische Untersuchungen zeigten jedoch, dass hauptsächlich Faktoren des Typs III treten in quantenmechanischen Systemen auf, Typen, die zu von Neumanns Zeiten eher ähnlich waren pathologisch wurden gesehen, und sogar deren Existenz war unklar. Verwenden von Tomita-Takesaki-Theorie und die Arbeit von Araki und Woods, unter anderem, war erfolgreich Alain Connes in seiner Dissertation von 1973, um Faktoren des Typs weiter zu klassifizieren III geben. Es erwähnt auch den intrinsischen dynamischen Charakter ('eine gottgegebene Zeitentwicklung' (Connes)) eines nicht-kommutativen Systems: Für jeden Faktor gibt es einen einzigartigen Homomorphismus von R zur Gruppe der Automorphismen von ich, modulo de interne Automorphismen.

Einstufung

Klassifizierung von Faktoren

Auf der Kollektion Projektionenp eines Faktors ich kann, außer bei Multiplikation mit einem positiven Skalar, eindeutig sein Abmessungen-Funktion d definiert sein. Dies ist eine Funktion d von p zu RSie {∞} befriedigen:

1. ${displaystyle d(sum _{i=1}^{infty}p_{i})=sum _{i=1}^{infty}d(p_{i})}$ wenn p_ich orthogonale Projektionen in ich sein,
2. d(p)=d(q) wenn p und q von Neumann-Äquivalent, d. h. wenn eine partielle Isometrie vorliegt Sie im ich existiert damit p=u*u und q=hh*
3. d(p)=0 dann und nur dann, wenn p=0.

Verwenden des Bildes Im(d) dieser Funktion lassen sich Faktoren in verschiedene Typen einteilen: Ein Faktor ist

• vom Typ ich_nein, mit nein eine natürliche Zahl, wenn Im(d)={1,2, ...,n},
• vom Typ ich_∞ wenn Im(d)=Nein₀U{∞},
• vom Typ II₁ wenn Im(d)=[0,1],
• vom Typ II_∞ wenn Im(d)=RU{∞},
• vom Typ III wenn Im(d)={0,∞}.

Ein Faktor, nicht der Typ III, heißt halbendlich. Diese können als die Faktoren charakterisiert werden, für die ein getreues, halbendliches, normales Spur existiert, notwendigerweise (außer bei einer positiven Skala) einzigartig. Ein Faktor des Typs ich_nein oder II₁ heißt endlich. Dies sind die Faktoren, für die eine echte endliche Spur existiert. Ein Faktor des Typs II_∞ oder III heißt „wirklich unendlich“.

Jede von Neumann-Algebra kann durch eine Auflösung über ihrem Zentrum „faktorisiert“ werden. Wenn bei dieser Zerlegung fast alle Faktoren von einem bestimmten Typ sind, dann heißt die von Neumann-Algebra von diesem Typ.

Klassifizierung von Faktoren des Typs III

Sie ich ein Faktor der Art III. Wählen Sie eine modulare Ein-Parameter-Gruppe auf ich, und sie Nein das gekreuzte Produkt von ich mit dieser Einparametergruppe. Nein ist dann eine von Neumann-Algebra vom Typ II_∞ sein. Sie ${Anzeigestil-Heta}$ die duale Ein-Parameter-Gruppe an Nein, beschränkt auf das Zentrum Z(N) von Nein. Das System (Z(N),${Anzeigestil-Heta}$,R) wird zum 'Fluss von Gewichten' auf ich erwähnt.

• wenn ${Anzeigestil-Heta}$ periodisch ist mit der Periode T=-ln(s)>0, dann wird ich vom Typ III_so erwähnt.
• wenn ${Anzeigestil-Heta}$ trivial Ader hat, dann ich vom Typ III₀.
• Wenn das Zentrum von Nein ist trivial (also Nein ist ein Faktor), dann ich vom Typ III₁.

Diese Einteilung kann auch auf Basis des kombinierten Spektrums aller modularen Operatoren der ich.

Es ist merkwürdig, dass eine gute Strukturtheorie für Faktoren des Typs . möglich ist III, da diese durch Ausschluss definiert werden: Sie sind die Faktoren, für die es keine gute Dimensionsfunktion gibt.

Beispiele

• Der Raum l^∞([0,1]) von im Wesentlichen begrenzt (d.h. fast überall eingeschränkt) Funktionen an [0,1] mit dem Lebesgue-Größe, ausgestattet mit dem Standard ${displaystyle |f|=sup _{xin lbrack 0,1brack }|f(x)|}$, ist ein kommutativ von Neumann-Algebra. Tatsächlich ist dies das einzige "nicht diskrete" Beispiel einer kommutativen von Neumann-Algebra: any ${Displaystil-Sigma}$-endlich kommutative von Neumann-Algebra ohne minimale Projektion ist dazu isomorph. Siehe auch LP-Raum.
• Der Raum aller beschränkten Operatoren auf a Hilbert-Raum bildet eine von Neumann-Algebra. Beliebiger Faktor des Typs ich ist von dieser Form.
• Sie G ein lokale Kompaktgruppe. Sie l²(G) das Hilbert-Raum von quadratisch integrierbaren Funktionen auf G, versehen mit dem linken Haargröße. Betrachten Sie die Operatoren u(g) auf l²(G), ${displaystyle Gin G}$, gegeben von ${Anzeigestil (u(g)xi)(h)=xi (g^{-1}h)}$. Die ultraschwache Schließung der Algebra, die durch die u(g) bildet eine von Neumann-Algebra, die 'linke Gruppe von Neumann-Algebra vonbra G' erwähnt.
• Sie ich₂ die Algebra von 2 mal 2 Matrizen über C, und betrachten das abzählbar unendliche Tensorprodukt von ich₂ mit sich selbst, genommen von der gewöhnlichen Spur jederzeit ich₂. Dann ist diese von Neumann-Algebra vom Typ II₁.