WikiDer > Erlang-Verteilung

Das Erlang-Verteilung ist in der Wahrscheinlichkeit ein stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung vorbereitet von den Dänen Mathematiker und StatistikerAgner Krarup Erlang zur Modellierung der Zeitdauer zwischen Aufrufen in a Telefonzentrale. Die Erlang-Verteilung kann als stetiges Analogon der negative Binomialverteilung.

Die Erlang-Distribution wird hauptsächlich in der Warteschlangentheorie, um die zeitliche Verteilung zwischen zwei Ereignissen, wie dem Eintreffen von Kunden, sowie im Qualitätskontrolle für die Beschreibung von Lebenszeiten.

Definition

Das Erlang-Verteilung mit Parametern ${Anzeigestil Lambda >0}$ und ${displaystyle ngeq 1}$, ${ Anzeigestil Lambda }$ ein reelle Zahl und ${displaystyle n}$ ein natürliche Zahl, bezeichnet durch ${Displaystyle-Operatorname {Erl} (lambda ,n),}$ ist ein Sonderfall der Gammaverteilung und solche mit Parametern ${displaystyle n}$ und ${displaystyle 1/lambda }$. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ${displaystyle f}$ wird gegeben von:

${displaystyle f(x)={ egin{cases}{frac {(lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}}lambda e^{-lambda x}&xgeq 0,//0&x< 0.end{cases}}}$

Eigenschaften

Als die stochastische Variable${Anzeigestil X}$ ein ${Displaystyle-Operatorname {Erl} (lambda ,n)}$Verteilung, die Momente gegeben von:

${displaystyle operatorname {E} (X^{k})=int limit _{0}^{infty }x^{k}{frac {lambda ^{n}x^{n-1}}{(n-1 )!}},e^{-lambda x}Operatorname {d} x={frac {(n k-1)!}{(n-1)!}}{frac {1}{lambda ^{k}} }}$

Es folgt für die erwarteter Wert und der Abweichung:

Erwartungswert

${Displaystyle-Operatorname {E} (X)={frac {n}{lambda }}}$.

Abweichung

${displaystyle Operatorname {var} (X)=Operatorname {E} (X^{2})-(Operatorname {E} (X))^{2}={frac {(n 1)n}{lambda ^{2 }}}-{frac {n^{2}}{lambda ^{2}}}={frac {n}{lambda ^{2}}}}$.

Beziehung zur Exponentialverteilung

• Die Erlang-Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, also der Erlang-Verteilung mit Parametern ${ Anzeigestil Lambda }$ und ${Anzeigestil 1}$ eine Exponentialverteilung mit Parameter ${ Anzeigestil Lambda }$.
• Die Summe von ${displaystyle n}$ voneinander unabhängige exponentiell verteilte stochastische Variablen, alle mit dem gleichen Parameter ${ Anzeigestil Lambda }$, hat eine Erlang-Verteilung mit den Parametern ${ Anzeigestil Lambda }$ und ${displaystyle n}$.