WikiDer > Rayleigh-Verteilung

Rayleigh-Verteilung
Zufallsdichte
Verteilungsfunktion
Parameter	Skalenparameter: ${Anzeigestil Sigma >0}$
Zufallsdichte	${displaystyle {frac {x}{sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/left(2sigma ^{2}ight)}}$
Verteilungsfunktion	${displaystyle 1-e^{-x^{2}/left(2sigma ^{2}ight)}}$
Erwartungswert	${displaystyle sigma {sqrt {frac {pi}{2}}}}$
Median	${displaystyle sigma {sqrt {2ln(2)}}}$
Modus	${Displaystil-Sigma}$
Abweichung	${displaystyle {frac {4-pi }{2}}sigma ^{2}}$
verzerren	${displaystyle {frac {2{sqrt {pi}}(pi -3)}{(4-pi)^{3/2}}}}$
Kurtosis	${displaystyle -{frac {6pi ^{2}-24pi 16}{(4-pi)^{2}}}}$
Entropie	${displaystyle 1 ln left({frac {sigma }{sqrt {2}}}ight) {frac {gamma }{2}}}$
momentan Erzeugungsfunktion	${displaystyle 1 sigma te^{sigma ^{2}t^{2}/2}{sqrt {frac {pi }{2}}}left(operatorname {erf} left({frac {sigma t}{sqrt {2 }}}Nacht) 1 Nacht)}$
Portal    Mathematik

In dem Wahrscheinlichkeit und der Statistik ist der Rayleigh-Verteilung ein stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung für positiv bewertet zufällige Variablen. Es ist ein Chi-Quadrat-Verteilung in zwei Freiheitsgrade.

mathematischer Hintergrund

Eine Stochastik hat oft eine Rayleigh-Verteilung, wenn die Gesamtgröße eines Vektors von seiner Richtung abhängtKomponenten. Ein Beispiel, bei dem die Rayleigh-Verteilung auftritt, ist, wenn Windgeschwindigkeit wird in zwei Dimensionen analysiert. Angenommen, jede Komponente ist unkorreliert, normal verteilt ist gleich Abweichung und null durchschnittlich, dann die Gesamtwindgeschwindigkeit (Anzahl der Vektoren) sind durch eine Rayleigh-Verteilung gekennzeichnet. Ein zweites Beispiel für die Verteilung ergibt sich bei beliebigen komplexen Zahlen, deren Real- und Imaginärteil unabhängig und identisch sind Gaussian mit gleicher Varianz und Nullmittelwert verteilt. In diesem Fall wird der Absolutwert der komplexen Zahl Rayleigh geteilt.

Die Verteilung ist benannt nach Lord Rayleigh.^[1]

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Das Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Rayleigh-Verteilung ist ^[2]

${displaystyle f(x;sigma )={frac {x}{sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2sigma ^{2})},quad xgeq 0,}$

wahr σ ist der Skalenparameter der Verteilung. Das Verteilungsfunktion ist ^[2]

${Anzeigestil F(x;Sigma)=1-e^{-x^{2}/(2Sigma^{2})}}$

vor dem ${ Anzeigestil xin [0,infty ).}$

Beziehung zu beliebiger Vektorlänge

Betrachten Sie den zweidimensionalen Vektor ${Anzeigestil Y=(U,V)}$ mit Komponenten, die normalverteilt, auf Null zentriert und unabhängig sind. Dann habe ${Displaystil U}$ und ${Anzeigestil V}$ die Dichtefunktionen:

${displaystyle f_{U}(x;sigma)=f_{V}(x;sigma)={frac {e^{-x^{2}/(2sigma ^{2})}}{sqrt {2pi sigma ^ {2}}}}.}$

Annehmen ${Anzeigestil X}$ die länge ist von ${Anzeigestil Y}$. Dann ist: ${displaystyle X={sqrt {U^{2} V^{2}}}.}$ Dann hat ${Anzeigestil X}$ eine kumulative Dichtefunktion

${displaystyle F_{X}(x;sigma)=iint _{D_{x}}f_{U}(u;sigma)f_{V}(v;sigma),dA,}$

bei welchem ${displaystyle D_{x}}$ der Kreiswert ist

${displaystyle D_{x}=links{(u,v):{sqrt {u^{2} v^{2}}}$

Als die Doppelintegral ist geschrieben in Polar Koordinaten wird das sein?

${displaystyle F_{X}(x;sigma )={frac {1}{2pi sigma ^{2}}}int _{0}^{2pi }int _{0}^{x}re^{-r^ {2}/(2sigma ^{2})},dr,d heta ={frac {1}{sigma ^{2}}}int _{0}^{x}re^{-r^{2}/ (2sigma ^{2})}, dr.}$

Schließlich ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für ${Anzeigestil X}$ die Ableitung seiner kumulativen Verteilungsfunktion, die nach dem Grundprinzip der Algebra lautet:

${displaystyle f_{X}(x;sigma)={frac {d}{dx}}F_{X}(x;sigma)={frac {x}{sigma ^{2}}}e^{-x^ {2}/(2sigma ^{2})},}$

das ist die Rayleigh-Verteilung.

Eigenschaften

Das unbearbeitete Momente werden gegeben von:

${displaystyle mu _{j}=sigma ^{j}2^{j/2},Gamma links(1 {frac {j}{2}}ight),}$

wahr ${Anzeigestil Gamma(z)}$ das Gamma-Funktion ist.

Es durchschnittlich einer beliebigen Rayleigh-Variablen ist also:

${displaystyle mu(X)=sigma {sqrt {frac {pi}{2}}} ungefähr 1,253 Sigma.}$

Das Abweichung einer beliebigen Rayleigh-Variablen ist:

${displaystyle operatorname {var} (X)=mu _{2}-mu _{1}^{2}=left(2-{frac {pi }{2}}ight)sigma ^{2}ca. 0,429 Sigma ^ {2}}$

Das Modus ist ${Displaystil-Sigma ,}$ und die maximale Wahrscheinlichkeitsdichte ist

${displaystyle f_{max }=f(sigma ;sigma )={frac {1}{sigma }}e^{-1/2}ungefähr {frac {0.606}{sigma }}.}$

Das verzerren wird gegeben von:

${displaystyle gamma _{1}={frac {2{sqrt {pi}}(pi -3)}{(4-pi)^{3/2}}}ca. 0,631}$

Das kurtosis wird gegeben von:

${Displaystil-Gamma _{2}=-{frac {6pi ^{2}-24pi 16}{(4-pi)^{2}}}ca. 0,245}$

Die charakteristische Funktion ist gegeben als:

${displaystyle varphi (t)=1-sigma te^{-{frac {1}{2}}sigma ^{2}t^{2}}{sqrt {frac {pi }{2}}}left[operatorname { erfi} left({frac {sigma t}{sqrt {2}}}ight)-iight]}$

wahr ${Display-Operatorname {erfi} (z)}$ das imaginäre Fehlerfunktion ist.

Vertrauensintervalle

Dafür (1 α ) Konfidenzintervall müssen Sie zuerst die Grenzen definieren ${Anzeigestil [a,b]}$ finden Sie wo:

${displaystyle P(chi_{2N}^{2}leq a)=alpha /2,quad P(chi_{2N}^{2}leq b)=1-alpha/2}$

Die Skalenparameter liegen dann innerhalb der folgenden Grenzen:

${displaystyle {frac {{2N}{overline {x^{2}}}}{b}}leq {sigma}^{2}leq {frac {{2N}{overline {x^{2}}}}{ ein}}}$^[3]

Anwendungen

Rayleigh-Verteilung und Wellenhöhen

Definition der Wellenhöhe

In einem vom Wind erzeugten normalen Wellenfeld haben alle Wellen eine unterschiedliche Höhe. Die Durchbiegung der Wasseroberfläche als Funktion der Zeit (t) ist in der Abbildung links als η. Eine einzelne Wellenhöhe wird nun als maximaler Höhenunterschied definiert huh zwischen zwei abwärts gerichteten Nulldurchgängen der Wasseroberfläche. Siehe Abbildung. Aus all diesen Einzelwellen kann man die signifikante Wellenhöhehuh_so Berechnen Sie den Durchschnitt des höchsten Drittels der Wellen. Dividiert man dann alle Beobachtungen durch huh_so, und zeichnet die gefundenen Punkte auf, erhält man die in der Abbildung oben (rechts) angegebene Linie.

Rayleigh-Verteilung für Wellen

Dieser Graph kann mathematisch wie folgt beschrieben werden:

${displaystyle p({underline {H}}>H)=expleft[-2left({frac {H}{H_{s}}}ight)^{2}ight]}$

Darin ist ${displaystyle p({unterstreichen {H}}>H)}$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter ${displaystyle {underline {H}}}$ ist größer als ein Auserwählter huh. Die Größe dieser Wahrscheinlichkeit ist der Wert, der durch die Formel angegeben wird. Es stellt sich heraus, dass für huh = huh_so die Wahrscheinlichkeit beträgt 13%. Das bedeutet, dass 13,5 % der Wellen in einem Wellenfeld größer sind als huh_so. Die durchschnittliche Wellenhöhe (huh_50%) ist ungefähr 0.6 huh_so, und die RMS-Wellenhöhe (Root-Mean-Square) huh_rms ist √2huh_so. Das huh_rms wird von 37% der Wellen im Wellenfeld überschritten. Das huh_rms ist der Mittelwert des Quadrats aller Einzelwellen; dieser Wert wird manchmal bevorzugt, weil er die Gesamtenergie in einem Wellenfeld gut beschreibt (die Energie einer Welle hängt mit der Wellenhöhe zum Quadrat zusammen, siehe auch Wellenspektrum). Es kann auch abgeleitet werden, dass die Welle, die in 1% der Fälle überschritten wird, 1,5 beträgt huh_so und die Welle, die in 0,1% der Fälle überschritten wird, beträgt 1,85 huh_so ist.
Damit lässt sich auch die höchste Welle eines Sturms abschätzen. Angenommen, in der Nordsee wütet ein dreistündiger Sturm mit a huh_so von 5 m Die Periode dieser Wellen beträgt etwa 10 s (dann beträgt die Steilheit 3%). In einem Sturm von drei Stunden gibt es ungefähr 1000 Wellen. Die höchste Welle ist die 0,1%-Welle, die 1,85 . beträgt huh_so, also über 9 m hoch.

Wellen brechen in seichtem Wasser (Markenzeichen). Die größten Wellen werden zuerst brechen. Durch diesen Vorgang wird die Verteilung etwas abgeflacht, wie in der Abbildung gezeigt. Mathematisch lässt sich dies mit einer Battjes-Groenendijk-Verteilung beschreiben. ^[4][5]

Rayleigh-Verteilung und MRI

Eine Anwendung der Schätzung von σ findet sich in Magnetresonanztomographie (MRT). Weil MRT-Bilder aufgenommen werden als Komplex Bilder, die jedoch normalerweise nur als Bilder mit Größeninformationen angesehen werden, sind die Hintergrunddaten Rayleigh-verteilt. Daher kann die Rayleigh-Verteilung verwendet werden, um die Rauschvarianz in einem MRT-Bild aus Hintergrunddaten abzuschätzen. ^[6][7]