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Weibull-Verteilung
Zufallsdichte
Verteilungsfunktion
Parameter	${Anzeigestil Lambda >0,}$Rahmen (Real) ${Anzeigestil k>0,}$bilden (Real)
Träger	${ Anzeigestil xin [0; infty ),}$
Zufallsdichte	${displaystyle (k/lambda)(x/lambda)^{(k-1)}e^{-(x/lambda)^{k}}}$
Verteilungsfunktion	${displaystyle 1-e^{-(x/lambda)^{k}}}$
Erwartungswert	${displaystyle mu =lambda Gamma links(1 {frac {1}{k}}ight),}$
Median	${Anzeigestil Lambda ln(2)^{1/k},}$
Abweichung	${displaystyle sigma ^{2}=lambda ^{2}Gamma links(1 {frac {2}{k}}ight)-mu ^{2},}$
verzerren	${displaystyle {frac {Gamma (1 {frac {3}{k}})lambda ^{3}-3mu Sigma ^{2}-mu ^{3}}{Sigma ^{3}}}}$
Kurtose	(siehe Text)
Entropie	${displaystyle gamma left(1!-!{frac {1}{k}}ight) left({frac {lambda }{k}}ight)^{k} ln left({frac {lambda }{k}}ight )}$
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In dem Wahrscheinlichkeit und der Statistik ist der Weibull-Verteilung (benannt nach Waloddi Weibull) eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung von denen die Wahrscheinlichkeitsdichte vor dem ${displaystyle xgeq 0}$ ist definiert durch

${displaystyle f(x;lambda,k)={ frac {k}{lambda}}left({ frac {x}{lambda}}ight)^{k-1}e^{-(x/lambda)^{ k}}.}$

Darin ist ${displaystyle k>0}$ das Formparameter und ${Anzeigestil Lambda >0}$ das Skalenparameter der Verteilung.

Das Verteilungsfunktion wird für ${displaystyle xgeq 0}$ gegeben von

${Anzeigestil F(x;Lambda,k)=1-e^{-(x/Lambda)^{k}}.}$

Weibull-Verteilungen werden häufig als Lebensdauerverteilung verwendet, um die Zeit bis zum Ausfall eines bestimmten technischen Geräts zu modellieren. Wenn die Droprate (MTBF) des Geräts mit der Zeit abnimmt, wählen Sie ${Anzeigestil k<1}$, was zu einer abnehmenden Dichte führt ${displaystyle f}$. Wenn die Fehlerrate des Geräts über die Zeit konstant ist, wählen Sie ${Anzeigestil k=1}$, was wiederum zu einer abnehmenden Dichte führt. Steigt die Ausfallrate im Laufe der Zeit, wählt man ${displaystyle k>1}$, so dass die Wahrscheinlichkeitsdichte ${displaystyle f}$ steigt zuerst auf ein Maximum an und nimmt dann für immer ab. Hersteller geben häufig die Form- und Skalierungsparameter für die Verteilung der Lebensdauer eines bestimmten Geräts an. Die Weibull-Verteilung kann auch verwendet werden, um die Verteilung der Windgeschwindigkeiten an einem bestimmten Ort auf der Erde zu modellieren. Auch hier wird jeder Ort durch den Form- und Maßstabsparameter charakterisiert.

Eigenschaften

Es ${displaystyle n}$-das Moment der Verteilung ist gegeben durch:

${displaystyle m_{n}=lambda^{n}Gamma (1 n/k)}$

Darin ist ${Anzeigestil Gamma }$ das Gamma-Funktion.

Das erwarteter Wert und der Abweichung eines Weibulls geteilt zufällige Variable${Anzeigestil X}$ kann ausgedrückt werden als:

${displaystyle {extrm {E}}(X)=Lambda Gamma (1 1/k)}$

und

${displaystyle { extrm {var}}(X)=lambda ^{2}[Gamma (1 2/k)-Gamma ^{2}(1 1/k)]}$

Das verzerren wird gegeben von:

${displaystyle gamma _{1}={frac {Gamma links(1 {frac {3}{k}}ight)lambda ^{3}-3mu sigma ^{2}-mu ^{3}}{sigma ^{3 }}}}$

Das kurtosis wird gegeben von:

${displaystyle gamma _{2}={frac {-6Gamma _{1}^{4} 12Gamma _{1}^{2}Gamma _{2}-3Gamma _{2}^{2}-4Gamma _{1 }Gamma _{3} Gamma _{4}}{[Gamma _{2}-Gamma _{1}^{2}]^{2}}}}$

wahr ${displaystyle Gamma _{i}=Gamma (1 i/k)}$. Die Kurtosis kann auch geschrieben werden als:

${displaystyle gamma _{2}={frac {lambda ^{4}Gamma links(1 {frac {4}{k}}ight)-3sigma ^{4}-4gamma _{1}sigma ^{3}mu - 6sigma ^{2}mu ^{2}-mu ^{4}}{sigma ^{4}}}}$

Erzeugung von Weibull-verteilten Zufallsgrößen

Gegeben eine Zufallszahl ${Displaystil U}$ gezogen von a gleichmäßige Verteilung im Intervall ${Anzeigestil(0.1)}$, dann hat die Größe

${Displaystil X=Lambda (-ln(U))^{1/k}}$

a Weibull-Verteilung mit Parametern ${displaystyle k}$ und ${ Anzeigestil Lambda }$. Dies folgt aus der Form der Verteilungsfunktion.

Verwandte Distributionen

• Das Exponentialverteilung ist eine Weibull-Verteilung mit Formparameter ${Anzeigestil k=1}$.
• Das Rayleigh-Verteilung ist eine Weibull-Verteilung mit Formparameter ${Anzeigestil k=2}$.

Anwendung

Die Weibull-Verteilung gibt die Verteilung der Lebensdauer von Objekten an. Es wird auch bei der Analyse der schwächsten Verbindungssysteme verwendet. Die Weibull-Verteilung wird oft anstelle der Normalverteilung weil sich ein Weibull teilte zufällige Variable können durch Inversion erzeugt werden, während normale Zufallsvariablen typischerweise mit den komplexeren Box-Müller-Transformation, diese zwei Gleichverteilte Zufallsvariablen notwendig. Weibull-Verteilungen können auch zur Darstellung von Fertigungs- und Lieferzeiten in industriellen Prozessen verwendet werden.

Externe Links

• Die Weibull-Verteilung (mit Beispielen, Eigenschaften und Rechnern).
• Das Weibull-Plot.
• WeibPar.com
• Weibull.com