WikiDer > Negativ-Binomialverteilung

In dem Wahrscheinlichkeit ist der negative Binomialverteilung ein diskretes Wahrscheinlichkeitsverteilung. Es ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der erforderlichen Anzahl unabhängiger Versuche mit immer Wahrscheinlichkeit p auf Erfolg, um eine feste Anzahl von Erfolgen zu erzielen ich erhalten.

Wenn wir eine Reihe von unabhängigen Bernoulli-Versuche mit Erfolgschancen machen p, können wir eine feste Zahl in Betracht ziehen, so dass wir abwarten müssen, wie oft wir erfolgreich sein werden. Dies führt zu dem Binomialverteilung. Wenn wir jedoch weitermachen, bis wir zum m-ten Mal Erfolg haben, müssen wir nur abwarten, wie viele Experimente wir machen müssen. diese Zahl, Nein, ist eine stochastische Variable, deren Verteilung die negative Binomialverteilung ist, gegeben durch:

${Anzeigestil P(N=n)={ binom {n-1}{m-1}}p^{m}(1-p)^{n-m}}$, für n=m,m 1,m 2,m 3, ...

Es ist leicht zu erkennen, dass diese Wahrscheinlichkeit entsteht, weil es m Erfolge mit jeweils einer Wahrscheinlichkeit p geben muss und von den n-1 Versuchen, die dem letzten Erfolg vorausgehen, muss es n-m Fehlschläge geben, jeder mit der Wahrscheinlichkeit 1-p. Das Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten zur Verteilung der m-1 Erfolge auf die n-1 Versuche vor dem letzten an.

Beispiel

Betrachten Sie einen gewöhnlichen Würfel, die wiederholt geworfen wird, bis zum 10. Mal "1" erscheint. Die erforderliche Anzahl von Würfen wird mit den Parametern m=10 und Erfolgswahrscheinlichkeit p=1/6 und Wertebereich {10, 11, 12, ...} negativ binomial verteilt.

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert E(N) einer negativen Binomialverteilung zufällige MengeNein mit Parametern m und p und de Abweichung var(N) sind:

${displaystyle E(N)={frac {m}{p}} ;quad mathrm {var} (N)=m{frac {1-p}{p^{2}}}.}$

Besonderer Fall

Das geometrische Verteilung ist ein Spezialfall der negativen Binomialverteilung mit Parameter m = 1.