WikiDer > Gammaverteilung

Reichweite
Wahrscheinlichkeitsdichte
Verteilungsfunktion
Parameter	${Anzeigestil k>0,}$ ${Anzeigestil-Heta >0,}$
Träger	${ Anzeigestil xin [0;infty )}$
Wahrscheinlichkeitsdichte	${displaystyle x^{k-1}{frac {exp {left(-x/heta ight)}}{Gamma (k),heta ^{k}}}}$
Verteilungsfunktion	${displaystyle {frac {gamma (k,x/heta)}{Gamma (k)}}}$
Erwartungswert	${displaystyle kheta }$
Modus	${displaystyle (k-1)heta }$ wenn ${displaystyle kgeq 1}$
Abweichung	${displaystyle kheta ^{2}}$
verzerren	${displaystyle {frac {2}{sqrt {k}}}}$
Kurtose	${displaystyle {frac {6}{k}}}$
Entropie	${Anzeigestil k ln heta ln Gamma (k)}$ ${Anzeigestil (1-k)psi (k)}$
momentan Erzeugungsfunktion	${displaystyle (1-heta ,t)^{-k}}$ wenn ${displaystyle t<1/heta }$
Charakteristische Funktion	${displaystyle (1-heta ,i,t)^{-k}}$
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In dem Wahrscheinlichkeit und Statistik ist der Gammaverteilung eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit zwei Parametern. Das Exponentialverteilung und der Chi-Quadrat-Verteilung sind Sonderfälle der Gammaverteilung.

Definition

Das Wahrscheinlichkeitsdichte der Gammaverteilung mit Formparameter ${displaystyle k}$ und Skalenparameter ${Anzeigestil-Heta}$, auch notiert als ${Anzeigestil Gamma(k,heta)}$Verteilung, ist:

${displaystyle f(x;k,heta )={frac {1}{heta ^{k},Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-x/heta } mathrm {if} x> 0}$

bei welchem ${Anzeigestil Gamma(k)}$ das Gamma-Funktion ist.

Eigenschaften

• Das ${Anzeigestil-Gamma (1,heta)}$-Verteilung ist die Exponentialverteilung mit Parameter ${Anzeigestil Lambda = 1/Heta }$.
• wenn ${Anzeigestil X}$ ein ${Anzeigestil Gamma(k,heta)}$Verteilung, dann ${displaystyle cX}$ ein ${Displaystil-Gamma (k, c heta )}$Verteilung, für willkürlich ${Anzeigestil c>0}$.
• wenn ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ voneinander unabhängig und gleichverteilt nach der Exponentialverteilung mit Parameter ${ Anzeigestil Lambda }$, dann hat ${displaystyle X_{1} ldots X_{n}}$ ein ${Displaystil-Gamma (n,1/Lambda)}$Verteilung.
• wenn ${Anzeigestil X}$ ein ${Anzeigestil Gamma(k,heta)}$Verteilung, dann ${displaystyle 2X/heta }$ ein Chi-Quadrat-Verteilung mit ${Displaystil 2k}$ Freiheitsgrade. Dies zeigt, dass die ${Anzeigestil-Gamma(k,2)}$Verteilung ist identisch mit der Chi-Quadrat-Verteilung mit ${Displaystil 2k}$ Freiheitsgrade.

Anwendungen

Die Gammaverteilung wird häufig verwendet, wenn mehrere, voneinander unabhängige Experimente mit a Exponentialverteilung im Spiel sein. Angenommen, die Wartezeit in Minuten im Bus an einer Haltestelle sei eine Exponentialverteilung mit dem Parameter ${Anzeigestil Lambda=10}$ dann hat die Wartezeit auf dem fünften Bus unter bestimmten Unabhängigkeitsannahmen a ${Displaystil-Gamma (5,{ frac {1}{10}})}$Verteilung.