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EIN Schrödinger-Betreiber ist ein mathematisches Objekt dass die Haupteigenschaften von a quantenmechanische System zusammenfasst. Technisch ist es ein lineare Transformation eines Teils von a Hilbert-Raum. Die verschiedenen Lösungen der Schrödinger-Gleichung, und deren Zusammenhang werden aus einer gründlichen Analyse des zugehörigen Schrödinger-Operators ersichtlich. Sowohl die Gleichung als auch der Operator sind benannt nach Erwin Schrödinger.

Rechenschaftspflicht

Die zeitunabhängige nicht-relativistische Schrödinger-Gleichung für ein elektrisch geladenes Teilchen in a elektrostatischPotenzialV (oder allgemeiner für eine Menge von Partikeln in einem beliebigen konservatives Kraftfeld) liest

${displaystyle -{ frac {1}{2}}Delta psi Vpsi = Epsi }$

Darin ist ${Anzeigestil Delta }$ das Laplace-Operator (die Summe der zweiten partielle Ableitungen in alle Raumrichtungen), ${Anzeigestil Psi}$ der unbekannte komplexwertige Wellenfunktion die die wahrscheinlichste Position des Teilchens angibt, und E eine ebenso unbekannte Konstante, die Gesamtenergie des Teilchens.

Die linke Seite der Gleichung kann als lineare Transformation der Vektorraum aller möglichen Lösungen ${Anzeigestil psi }$:

${displaystyle H(psi)=-{ frac {1}{2}}Delta psi Vpsi }$

Die lineare Transformation huh wird normalerweise ohne Klammern notiert. Sie nennen sie die Hamilton-Operator des Systems, in Analogie zu den Hamilton-Funktion in der besonderen Formulierung, dass William Rowan Hamilton zum Klassiker Mechanik gegeben.

Lösungen ${Anzeigestil psi }$ werden a priori im Hilbertraum gesucht ${displaystyle {mathcal {H}}=L^{2}(mathbb {R} ^{n},mathbb {C})}$ der quadratisch integrierbaren komplexwertigen Funktionsklassen in nein veränderbar (siehe LP-Raum). Ein Hilbertraum ist ein Beispiel für a topologischer Vektorraum. Das Studium linearer Abbildungen zwischen topologischen Vektorräumen heißt Operatortheorie.

Ein wichtiger Aspekt der mathematischen Definition von huh ist ihr Domain. Abhängig davon, huh kann oder kann nicht ausgelegt werden als selbst hinzugefügter Operator in einem Hilbertraum. Letzteres ist eine Voraussetzung, um die Lösungen für E als physikalisch mögliche Werte der Gesamtenergie des Systems.

Definition

Ein Schrödinger-Operator ist in seiner elementaren Form ein selbstaddierter Operator huh auf einen dicht Subvektorraum d von ${displaystyle {mathcal {H}}}$, die mindestens die zweifach differenzierbaren Funktionen mit contains enthält kompakt Träger, und wobei huh für diese Funktionen können als Summe (minus der Hälfte) des Laplace-Operators und der Multiplikation mit einer gegebenen reellen Funktion geschrieben werden V.

A priori ist die Funktion V sind nicht durchgängig oder begrenzt, sondern können lokal integriert werden. In der Praxis stark positive Werte von V kein Problem darstellen, aber es sollten Auflagen gemacht werden, inwieweit V wird negativ.

Interpretation

In der Schrödinger-Formulierung der Quantenmechanik entsprechen die physikalischen Eigenschaften des Systems selbstaddierten Operatoren auf einem Hilbert-Raum. Der Laplace-Operator (mit Vorfaktor minus einer Sekunde) setzt die kinetische Energie des geladenen Teilchens für die Multiplikation mit V setzt die potenzielle Energie vor dem.

Durch Lernen huh als Operator wird die Schrödinger-Gleichung zu a Selbstwertproblem. Wir suchen Vektoren ${Anzeigestil Psi}$ das von huh auf einem konstanten Vielfachen von sich selbst dargestellt werden (sog. Eigenvektoren). Die entsprechende Konstante, der Eigenwert, ist, wie erwähnt, die Gesamtenergie des Systems.

Unbegrenzter Betreiber

Ein Schrödinger-Operator ist kein a kontinuierlich lineare Transformation bzgl. der Topologie des Hilbertraums. Es ist ein geschlossener Betreiber in dem Sinne, dass sein Graph

${displaystyle left{(x,Hx)|xin {mathcal {H}}ight}}$

ein Geschlossen Teilmenge ist von kartesisches Produkt${displaystyle {mathcal {H}} imes {mathcal {H}}}$ des Hilbertraums mit sich selbst.

Die Anforderung, dass huh selbstaddiert ist viel strenger als nur die Symmetrie in Bezug auf die internes Produkt des Hilbertraums

${Anzeigestil für alle phi,psi in D:langle phi,Hpsi-Winkel =langle Hphi,psi-Winkel}$

Das Operator hinzugefügthuh^* muss, weil genau die gleiche Domäne habe wie huh. Je größer der Bereich von huh, desto kleiner ist die Domäne seiner hinzugefügten huh^*. Die technische Hauptschwierigkeit besteht also darin, eine genau passende Domain-Sammlung d Erfassung. Physikalisch entspricht dies der Auswahl des richtigen Bedingungen zur Schrödinger-Gleichung.

Der einfachste Schrödinger-Operator ist der (negative) Laplace-Operator. Sie fügt sich selbst zu der Menge der quadratisch integrierbaren Funktionsklassen hinzu, die fast überall zweimal partiell differenzierbar sind und deren erste und zweite partielle Ableitung wiederum quadratisch integrierbar sind (Sobolev-Zimmer).

Einige andere Schrödinger-Operatoren können als selbstaddiert gezeigt werden, indem man sie als a . betrachtet Fehlfunktion von einem bekannten Betreiber. Sie T ein selbst-addierter Operator in einem Hilbert-Raum. Ein Operateur so heiß relativ kompakt relativ zu T wenn er verstanden werden kann als Kompaktantrieb aus dem Graphen von T zum ursprünglichen Hilbertraum. In diesem Fall Tso wieder ein selbst hinzugefügter Operator auf der Domäne von T.

Halbgruppen

Ein Schrödinger-Operator ist der Generator (Zeitableitung in Zeit 0) von a einparametrige Halbgruppe von Operatoren. Die Mitglieder der Halbgruppe geben die Lösung der sogenannten zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für imaginäre Zeiten. Diese Halbgruppen werden als bezeichnet Schrödinger Halbgruppen.

Erweiterungen

Der Name Schrödinger-Operator wird auch für andere allgemeinere lineare Transformationen verwendet, die die Energie eines quantenmechanischen Systems in irgendeiner Form der Schrödinger-Gleichung ausdrücken. Es gibt auch eine Schrödinger-Gleichung (und den zugehörigen Operator) mit Spinne. EIN magnetischer Schrödinger-Operator enthält einen zusätzlichen Term, in dem a Vektorpotential tritt ein. Das Zustandsraum${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ kann durch eine allgemeinere ersetzt werden Riemann-Sorte mit zugehörigem Laplace-Operator.

Verweise

• H. L. Cycon, R. G. Froese, W. Kirsch und B. Simon, "Schrödinger Operators", Springer Texts and Monographies in Physics, Heidelberg 1987.
• M. Reed und B. Simon, "Methods of Modern Mathematical Physics" (4 Bände), Academic Service, London 1975-1980.
• B. Simon, "Schrödinger-Halbgruppen", Bulletin der American Mathematical Society7, 447-526 (1982).