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EIN Clifford-Algebra, benannt nach und entdeckt 1878 von William Kingdon Clifford, ist eine unitäre (d. h. mit Einheitselement) assoziative Algebra das ist eine Erweiterung von komplexe Zahlen und hyperkomplexe Zahlensysteme.^[1][2] Die Theorie der Clifford-Algebren ist eng mit der Theorie der quadratische Formen und orthogonale Transformationen. Clifford-Algebren finden breite Anwendung unter anderem in den Geometrie, das Quantenphysik, in der Definition und Darstellung von Spingruppen und Spinoren, die Bestimmung von Invarianten auf Sorten und der digitale Bildbearbeitung.

Vorwort

Die komplexen Zahlen, die Quaternionen und der Oktonionen sind Zahlensysteme (Divisionalgebra's with unit) mit komplexen Einheiten, die durch die Cayley-Dickson-Konstruktion. wenn Vektorraum über die reale Nummern werden sie durch die Nummer 1 und 1, 3 bzw. 7 spezifische Elemente erzeugt? ${displaystyle i_{k}}$ jedes davon hat die Zahl -1 im Quadrat: ${displaystyle i_{k}^{2}=-1}$. Man sucht auch nach ähnlichen Strukturen, die die reellen Zahlen enthalten und nach beliebigen ${displaystyle n}$ generative Elemente ${displaystyle i_{1},dots ,i_{n}}$ und auf dem ein Produkt ${displaystyle circ }$ definiert, die erfüllt:

${displaystyle i_{k}circ i_{l} i_{l}circ i_{k}=2sigma _{k}delta _{kl},}$

in welchem ${Anzeigestil-Delta _{kl}}$ das Kronecker Delta ist und ${displaystyle sigma _{k}=pm 1.}$ Normalerweise schreibt man einfach ${displaystyle ab}$ Anstatt von ${displaystyle acirc b.}$

Das Produkt aller generativen Elemente ist ${Anzeigestil Omega}$ angegeben:

${displaystyle omega =i_{1}i_{2}ldots i_{n}~.}$

Für das Quadrat von ${Anzeigestil Omega}$ daher gilt:

${Anzeigestil Omega ^{2}=pm 1~.}$

Abgesehen von den genannten Beispielen lässt sich eine solche Struktur nicht als reelles Zahlensystem realisieren, sondern nur als assoziative Algebra, die man Clifford-Algebra nennt.

Matrixdarstellungen reeller Clifford-Algebren

Wir brauchen Anti-Pendler Matrizen (AB = −BA), weil in Clifford-Algebren orthogonale Vektoren antikommutieren.

${displaystyle Acdot B={frac {1}{2}}(AB BA)=0}$

Für Clifford Algebra ${displaystyle mathbb {R} _{p,q},}$, haben wir pq erfordern gegenseitig antikommutierende Matrizen, von denen p wenn quadriert habe 1 und q als Quadrat von -1.

${displaystyle { egin{matrix}gamma _{a}^{2}&=& 1&{mbox{as}}&1leq aleq p/gamma _{a}^{2}&=&-1&{mbox{as}} &p 1leq aleq pq/gamma _{a}gamma _{b}&=&-gamma _{b}gamma _{a}&{mbox{if}}&aeq b /end{matrix}}}$

Eine solche Basis von Gammamatrizen ist nicht eindeutig. Einer kann immer einen anderen bekommen Sammlung bilden Gammamatrizen für dieselbe Clifford-Algebra durch eine Ähnlichkeitstransformation.

${displaystyle { egin{matrix}gamma _{a'}&=&S&gamma _{a}&S^{-1}end{matrix}}}$

wobei S eine nicht singuläre Matrix ist (bestimmend nicht Null) Beide Sätze von Gammamatrizen gehören zur gleichen Äquivalenzklasse.

Intermezzo: das K-System zur Benennung von Matrizen

Die folgende Methode zu 2^nein × 2^nein Namensmatrizen werden verwendet:

${displaystyle K_{0}={ egin{pmatrix}1&0/0&1end{pmatrix}},K_{1}={ egin{pmatrix}0&1/1&0end{pmatrix}},K_{2}={ egin{pmatrix}0&- 1/1&0end{pmatrix}},K_{3}={ egin{pmatrix}1&0/0&-1end{pmatrix}}.}$

Beachten Sie, dass K₀ das Einheitenmatrix Die Namen sind so gewählt, dass man sich die Multiplikation leicht merken kann:

k₁ k₂ = K₃

k₁ k₃ = K₂

k₂ k₃ = K₁

k₂ k₁ = −K₃

k₃ k₁ = −K₂

k₃ k₂ = −K₁.

Ein steigender Index führt zu einem positiven Ergebnis. Ein fallender Index führt zu einem negativen Ergebnis.

Beachtung! Dies sind NICHT die gleichen Regeln wie bei der Multiplikation der klassischen Quaternionen.Wenn man sagt, dass i = i₁, j = i₂ und k = i₃dann wären die regeln

ich₁ich₂=i₃

ich₂ich₃=i₁

ich₃ich₁=i₂

die letzte Zeile ist anders Wir werden später sehen, dass die reinen Quaternionen i,j und k durch K₁₂,K₂₀ und K₃₂

beachte das

${displaystyle K_{0}^{2}=K_{1}^{2}=K_{3}^{2}=K_{0}}$

${displaystyle K_{2}^{2}=-K_{0}}$

k₂ ist der einzige mit einem negativen Quadrat, es ist die einfachste Matrixdarstellung der imaginären Zahl ich

Jetzt ist es einfach, alles zu bekommen Kronecker-Produkte einen Namen geben:

${displaystyle K_{ab}=K_{a}otimes K_{b}}$

${displaystyle K_{abc}=K_{a}otimes K_{bc}=K_{a}otimes K_{b}otimes K_{c}}$

Einige Beispiele

${displaystyle K_{30}={ egin{pmatrix}1&0&0&0/0&1&0&0/0&0&-1&0/0&0&0&-1end{pmatrix}},K_{11}={ egin{pmatrix}0&0&0&1/0&0&1&0/0&0&0&0&x00&1}$

Jeder Index hat seine Niveau (2x2, 4x4, 8x8, 16x16, ...)

k₁₃ ist ein K₃ auf Level 2x2 und einem K₁ auf Stufe 4 x 4. Mit dieser Notation ist es sehr einfach zu quadratische Matrizen sich vermehren wegen der Eigenschaft des Kronecker-Produkt,

${displaystyle (Aotimes B)(Cotimes D)=ACotimes BD}$

Lassen Sie uns einige Beispiele ausarbeiten

k₁₂₃ k₂₂₂ = K₃₀₁

8x8 Level 1 mal 2 ergibt 3

4x4 Level 2 mal 2 ergibt 0, aber wir erinnern uns an ein Minuszeichen

2x2 Level 3 mal 2 ergibt 1 aber wieder erinnern wir uns an ein Minuszeichen

(die beiden Minuszeichen neutralisieren sich gegenseitig, das Ergebnis ist also K₃₀₁)

Mit dieser Methode kann man leicht Mengen von sich gegenseitig antikommutierenden orthogonale Matrizen ebenfalls Dirac-Matrizen Es ist klar, dass zwei solcher Matrizen antikommutieren, wenn sie in einer ungeraden Anzahl von Indizes antikommutieren (Index o kommutiert mit allen anderen Indizes).

k₁₃ zum Beispiel antikommutiert mit

k₀₁,K₀₂,K₁₁,K₁₂,K₂₀,K₂₃,K₃₀,K₃₃

und pendelt mit

k₀₀,K₁₀,K₁₃,K₂₁,K₂₂,K₃₁,K₃₂.

Wenn der Index 2 kommt im Namen gerade oft vor, dann ist es das Quadrat der Matrix plus der Einheitsmatrix. Nennen Sie eine solche Matrix a Kplus.

Beispiele sind K₁, K₂₂, K₃₁₁, K₂₂₂₂

Wenn der Index 2 kommt im Namen ungerade vor, dann ist das Quadrat minus der Einheitsmatrix. Nennen Sie eine solche Matrix a Kilometer.

Beispiele sind K₂, K₂₂₂, K₂₁₁, K₁₂₂₂

Folgen Sie nun einfach den größtmöglichen Mengen sich gegenseitig antikommutierender Matrizen.

Beginnen Sie mit einem vorhandenen Set {K₁,K₂,K₃}

Fügen Sie einen neuen Index hinzu, der für alle Matrizen gleich ist (zum Beispiel eine 1 an erster Stelle) Dies ergibt {K₁₁,K₁₂,K₁₃}

Es ist möglich, zwei Matrizen hinzuzufügen, die auf der neuen Ebene antikommutieren und auf der alten Ebene kommutieren (mit Index 0)

Dies gibt {K₁₁, K₁₂, K₁₃, K₂₀, K₃₀}

Andere Beispiele

{K₂₁, K₂₂, K₂₃, K₁₀, K₃₀}

{K₃₁, K₃₂, K₃₃, K₁₀, K₂₀}

{K₁₁₁, K₁₁₂, K₁₁₃, K₁₂₀, K₁₃₀, K₂₀₀, K₃₀₀}

{K₂₁₁, K₂₁₂, K₂₁₃, K₂₂₀, K₂₃₀, K₁₀₀, K₃₀₀}

{K₃₁₁, K₃₁₂, K₃₁₃, K₃₂₀, K₃₃₀, K₁₀₀, K₂₀₀}

Man erhält immer eine ungerade Anzahl von Matrizen und es gibt immer ein Kplus mehr als Kmin. Jede dieser Matrizen kann als Produkt aller anderen geschrieben werden, zum Beispiel K₁₁ k₁₂ k₁₃ k₂₀ = K₃₀

Es folgen zunächst einige Algebren mit zunehmender Anzahl von Basisvektoren, gefolgt von einer Erläuterung der Periodizität in den Darstellungen der reellen Clifford-Algebren.

Echte Clifford Algebra R_2,0

p = 2 und q = 0 also brauchen wir 2 Kplus als Basisvektoren

Grad 0 (der Skalar)

${displaystyle { start{matrix}1=K_{0}end{matrix}}}$

Klasse 1 (die Vektoren)

${Displaystil-Gamma _{1}=K_{1}Rechtspfeil-Gamma _{1}^{2}=K_{0}=1}$

${Displaystil-Gamma _{2}=K_{3}Rechtspfeil-Gamma _{2}^{2}=K_{0}=1}$

Grad 2 (der Pseudoskalar)

${displaystyle gamma _{1}country gamma _{2}={frac {1}{2}}(gamma _{1}gamma _{2}-gamma _{2}gamma _{1})=gamma _{ 1}Gamma _{2}=K_{2}Pfeil nach rechts (Gamma _{1}Ländergamma_{2})^{2}=(Gamma_{1}Gamma_{2})^{2}=K_{ 2}^{2}=-1}$

n = p q = 2 und wir haben 2² = 4 Elemente, also ist es das, was ich. Porteous nennt a Universal- Clifford-Algebra.

Die Elemente geraden Grades (Grad 0 und Grad 2) bilden die partielle Algebra der komplexen Zahlen.

Jede komplexe Zahl a bi entspricht ${displaystyle aK_{0} bK_{2}}$

Echte Clifford Algebra R_1,1

p = 1 und q = 1, also haben wir 1 Kplus und 1 Kmin als Basisvektoren

Grad 0 (der Skalar)

${displaystyle { start{matrix}1=K_{0}end{matrix}}}$

Klasse 1 (die Vektoren)

${Displaystil-Gamma _{1}=K_{1}Rechtspfeil-Gamma _{1}^{2}=K_{0}=1}$

${Displaystil-Gamma _{2}=K_{2}Rechtspfeil-Gamma _{2}^{2}=-K_{0}=-1}$

Grad 2 (der Pseudoskalar)

${displaystyle gamma _{1}country gamma _{2}=gamma _{1}gamma _{2}=K_{3}Pfeil nach rechts (gamma _{1}country gamma _{2})^{2}=(gamma _{1}Gamma _{2})^{2}=K_{3}^{2}=K_{0}=1}$

Hier haben wir wieder 2^nein Elemente in der Algebra mit n = p q also ist es wieder a Universal- Clifford-Algebra

Echte Clifford Algebra R_2,1

p = 2 und q = 1, also haben wir 2 Kplus Basisvektoren und 1 Kmin Basisvektor

Grad 0 (der Skalar)

${displaystyle { start{matrix}1=K_{0}end{matrix}}}$

Klasse 1 (die Vektoren)

${Displaystil-Gamma _{1}=K_{1}Rechtspfeil-Gamma _{1}^{2}=K_{0}=1}$

${Displaystil-Gamma _{2}=K_{3}Rechtspfeil-Gamma _{2}^{2}=K_{0}=1}$

${Displaystil-Gamma _{3}=K_{2}Rechtspfeil-Gamma _{3}^{2}=-K_{0}=-1}$

Die Signatur ist (-)

Klasse 2 (die Bivektoren)

${displaystyle gamma _{1}country gamma _{2}=gamma _{3}=K_{2}Pfeil nach rechts (gamma _{1}country gamma _{2})^{2}=-1}$

${displaystyle gamma _{1}country gamma _{3}=gamma _{2}=K_{3}Pfeil nach rechts (gamma _{1}country gamma _{3})^{2}= 1}$

${displaystyle gamma _{2}country gamma _{3}=-gamma _{1}=-K_{1}Pfeil nach rechts (gamma _{2}country gamma _{3})^{2}= 1}$

Grad 3 (der Pseudoskalar)

${displaystyle gamma _{1}country gamma _{2}country gamma _{3}=-1Rightarrow (gamma _{1}country gamma _{2}country gamma _{3})^{2}=(-1) ^{2}= 1}$

Dies ist das erste Beispiel einer nicht-universalen Clifford-Algebra, denn p q = 3 und wir haben nur 2² Elemente haben und nicht 2³Jede Matrix wird zweimal verwendet, einmal als Vektor und einmal als Bivektor. Der Pseudoskalar ist minus dem Skalar.

Echte Clifford Algebra R_0,2

Hier ist p = 0 und q = 2, also haben wir 2 antikommutierende Kmin-Matrizen als Basisvektoren. Dies ist mit reellen 2×2-Matrizen unmöglich, also müssen wir 4×4-Matrizen verwenden, es gibt viele Möglichkeiten Diese Algebra ist isomorph zum Ring huh des Quaternionen.

Grad 0 (der Skalar)

${displaystyle { start{matrix}1=K_{00}end{matrix}}}$

Grad 1 (der Vektor enthe)

${Displaystil-Gamma _{1}=K_{12}Rechtspfeil-Gamma _{1}^{2}=-K_{00}=-1}$

${Displaystil-Gamma _{2}=K_{20}Rechtspfeil-Gamma _{2}^{2}=-K_{00}=-1}$

Das Unterschrift ist (− −)

Grad 2 (der Pseudoskalar)

${displaystyle gamma _{1}country gamma _{2}=K_{12}K_{20}=K_{32}Pfeil nach rechts (gamma _{1}country gamma _{2})^{2}=K_{32} ^{2}=-K_{00}=-1}$

Es Isomorphismus mit den Quaternionen geht das so:

1 ist skalar, ich und ja sind Vektoren und k = ij ist es pseudoskalar.

Jede Clifford-Zahl ist eine Linearkombination der vier Elemente 1, ich, ja und k

${displaystyle { egin{matrix}1=K_{00},&i=K_{12},&j=K_{20}&k=K_{32}end{matrix}}}$

Die Verwendung von k als pseudoskalar ( ich Mahlzeit ja ) ist etwas seltsam, aber völlig richtig.

Echte Clifford Algebra R_0,3

p = 0 und q = 3, also haben wir 3 Kmin-Basisvektoren, dies ist die gebräuchlichere Art, mit . zu arbeiten Quaternionen i, j und k sind nun Vektoren und ijk = -1 ist der Pseudoskalar.Außerdem ist diese Algebra isomorph zu den Quaternionen.

Grad 0 (der Skalar)

${displaystyle { start{matrix}1=K_{0}end{matrix}}}$

Klasse 1 (die Vektoren)

${Displaystil-Gamma _{1}=K_{12}=iRechtspfeil-Gamma _{1}^{2}=-K_{00}=-1}$

${Displaystil-Gamma _{2}=K_{20}=jRechtspfeil-Gamma _{2}^{2}=-K_{00}=-1}$

${Displaystil-Gamma _{3}=K_{32}=kRechtspfeil-Gamma _{3}^{2}=-K_{00}=-1}$

Die Signatur ist ( - - - )

Klasse 2 (die Bivektoren)

${Displaystil-Gamma _{1}Länder-Gamma _{2}=K_{12}K_{20}=K_{32}=Gamma _{3}}$

${Displaystil-Gamma _{3}Länder-Gamma _{1}=K_{32}K_{12}=K_{20}=Gamma _{2}}$

${Displaystil-Gamma _{2}Länder-Gamma _{3}=K_{20}K_{32}=K_{12}=Gamma _{1}}$

Grad 3 (der Pseudoskalar)

${Displaystil-Gamma _{1}Länder-Gamma _{2}Länder-Gamma _{3}=K_{12}K_{20}K_{32}=-K_{00}=-1}$

Eine Clifford-Zahl ist hier wieder eine Linearkombination der 4 Elemente 1 ij und k. Die Verwendung von -1 als Pseudoskalar (ijk) ist wie üblich, macht diese Algebra jedoch zu einem neuen Beispiel einer nicht universellen Clifford-Algebra, denn pq =q 3 und wir haben nur 2² haben verschiedene Elemente, die zweimal verwendet werden.

Echte Clifford Algebra R_3,0

Dieser ähnelt dem berühmten Paulialgebra, wenn ein K₀₂ lass handeln als ich und K₀₀ als 1. Wir haben 3 Kplus als Basisvektoren.

Grad 0 (der Skalar)

${displaystyle { start{matrix}1=K_{0}end{matrix}}}$

Klasse 1 (die Vektoren)

${Displaystil-Gamma _{1}=K_{10}=Sigma _{1}Rechtspfeil-Gamma _{1}^{2}=K_{00}= 1}$

${Displaystil-Gamma _{2}=K_{22}=Sigma _{2}Rechtspfeil-Gamma _{2}^{2}=K_{00}= 1}$

${Displaystil-Gamma _{3}=K_{30}=Sigma _{3}Rechtspfeil-Gamma _{3}^{2}=K_{00}= 1}$

Die Signatur ist ( )

Klasse 2 (Bivektoren)

${displaystyle sigma _{1}Land sigma _{2}=K_{10}K_{22}=K_{32}=K_{02}K_{30}=isigma _{3}}$

${displaystyle sigma _{3}land sigma _{1}=K_{30}K_{10}=-K_{20}=K_{02}K_{22}=isigma _{2}}$

${displaystyle sigma _{2}Land sigma _{3}=K_{22}K_{30}=K_{12}=K_{02}K_{10}=isigma _{1}}$

Grad 3 (pseudoscalar)

${displaystyle sigma _{1}Land sigma _{2}Land sigma _{3}=K_{10}K_{22}K_{30}=K_{02}=i}$