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Autocorrelatie

Oben: 100. Diagramm zufällig Zahlen mit einem "versteckten" Sinus drin.
Unten: Autokorrelationsfunktion davon.

In dem Statistik und der Signalverarbeitung ist Autokorrelation das Kreuzkorrelation von a Funktion oder Signal mit sich selbst. Man kann sich Autokorrelation als den Grad der Ähnlichkeit zwischen der Funktion und einer zeitversetzten Kopie davon vorstellen. Es ist ein mathematisch Instrument zum Wiederholen Muster wie das Vorhandensein einer periodischen Signal im Lärm, oder um das Vermisste zu finden Wurzelnote in einem Signal gefunden, von dem nur die Obertöne sind gegeben. Autokorrelation wird häufig in der Signalverarbeitung zu Serie von Werten, wie zeitabhängigen Signalen.

Definitionen

Verschiedene Forschungsbereiche definieren Autokorrelation unterschiedlich, und diese Definitionen sind nicht alle Äquivalent. In einigen Bereichen werden die Begriffe Autokorrelation und Autokovarianz gemischt verwendet.

Statistiken

In dem Statistik beschreibt die Autokorrelation von a stochastisch verarbeiten die Korrelation zwischen den Werten dieses Prozesses zu verschiedenen Zeiten, als Funktion der beiden Zeiten oder der Zeitdifferenz. Annehmen X ein wiederholbarer Prozess und ich eine Zeit nach dem Start des Prozesses. (ich kann für a diskret Prozess a gerade Zahl oder für a kontinuierlich Prozess a reelle Zahl sein). Dann ist X_ich der Wert (oder die Realisierung generiert durch eine Daten Lauf) des Prozesses zur Zeit ich. Nehmen Sie weiter an, dass der Prozess für alle Zeitpunkte ich hat definierte Werte für die durchschnittlichμ_ich und der Abweichungσ_ich². Die Definition der Autokorrelation lautet dann:

{displaystyle R(s,t)={frac {Operatorname {E} [(X_{t}-mu _{t})(X_{s}-mu_{s})]}{sigma _{t}sigma _{s}}}}

in welchem E das erwarteter Wert ist. Beachten Sie, dass diese Formel nicht für alle Zeitreihen oder Prozesse genau definiert ist, da die Varianz null (für konstante Prozesse) oder unendlich sein kann. Wenn die Funktion R gut definiert, sein Wert muss im Bereich liegen [–1, 1] liegen, wobei 1 vollständige Korrelation und –1 vollständig Antikorrelation meint.

wenn X_t ein stationärer Prozess zweiter Ordnung ist, sind der Erwartungswert μ und die Varianz σ² zeitunabhängig. In diesem Fall hängt die Autokorrelation nur von der Differenz zwischen t und so: die Korrelation hängt nur noch von der Zeitdifferenz zwischen den beiden Werten ab und nicht mehr von ihrer Zeit. Dies impliziert auch, dass die Autokorrelation als Funktion der Zeitverzögerung ausgedrückt werden kann, und dass dies a gleiche Funktion ist von der Verspätung = s – t. Dies führt zu der bekannteren Form:

{displaystyle R( au )={frac {Operatorname {E} [(X_{t}-mu )(X_{t au }-mu )]}{sigma ^{2}}}}

Da dies eine gerade Funktion ist,

{Anzeigestil R(au)=R(-au)}

In einigen anderen Bereichen als Statistik und Zeitreihenanalyse es ist üblich, mit zu standardisieren σ² verfallen und die Laufzeit Autokorrelation austauschbar mit Autokovarianz. Die Standardisierung ist jedoch wichtig, da sowohl die Interpretation der Autokorrelation als auch eine Korrelation ein skalenfreies Maß für die Stärke der statistische Abhängigkeit, sowie weil die Normalisierung die statistischen Eigenschaften der geschätzten Autokorrelationen beeinflusst.

Signalverarbeitung

In dem Signalverarbeitung die obige Definition wird oft ohne die Standard, das heißt ohne die durchschnittlich subtrahiere und dividiere das Ergebnis durch Abweichung. Wenn die Autokorrelationsfunktion mit dem Mittelwert und der Varianz normalisiert wird, wird sie manchmal als bezeichnet Autokorrelationskoeffizient.^[1]

wenn f(t) ein Signal ist, wird die kontinuierliche Autokorrelation zu R_ff(τ) normalerweise das stetige Kreuzkorrelationsintegral von f(t) mit zeitlicher Verzögerung τ erwähnt:

{displaystyle R_{ff}(au)=(f(t)*{overline {f}}(-t))(au)=int _{-infty}^{infty}f(tau){overline {f }}(t),{m {d}}t=int _{-infty}^{infty}f(t){overline {f}}(t-au),{m {d}}t}

in welchem ${displaystyle {overline {f}}}$ das komplex konjugiert und ${Anzeigestil *}$ das Faltung vorstellen. Für ein echte Funktion gilt ${displaystyle {overline {f}}=f.}$

Die diskrete Autokorrelation R bei Verspätung j für ein diskretes Signal X_nein liest

{Displaystyle R_{xx}(j)=Summe _{n}x_{n},{overline {x}}_{n-j}}

Die obigen Definitionen gelten für Signale, die quadratisch integrierbar oder quadratisch summierbar sind, dh eine endliche Energie haben. Im Gegensatz dazu werden Signale, die „für immer andauern“ als zufällige Prozesse behandelt, wobei unterschiedliche Definitionen basierend auf den erwarteten Werten verwendet werden. Vor dem stationäre Zufallsprozesse im weiteren Sinne die Autokorrelationen sind definiert als

{displaystyle R_{ff}(au)=Betreibername {E} left[f(t){overline {f}}(t-au)ight]}

{displaystyle R_{xx}(j)=Operatorname {E} left[x_{n},{overline {x}}_{n-j}ight]}

Vor dem stationäre Prozesse umfasst dies auch Funktionen von t oder nein sein.

Für Prozesse, die auch ergodisch sein, kann der Erwartungswert ersetzt werden durch den replaced Grenze im zeitlichen Durchschnitt. Die Autokorrelation eines ergodischen Prozesses wird manchmal definiert als oder gleichgesetzt mit^[1]

{displaystyle R_{ff}( au )=lim _{Tightarrow infty }{frac {1}{T}}int _{0}^{T}f(t au ){overline {f}}(t),{ m {d}}t}

{displaystyle R_{xx}(j)=lim _{Nightarrow infty }{frac {1}{N}}sum _{n=0}^{N-1}x_{n},{overline {x}}_ {NJ}}

Diese Definitionen haben den Vorteil, dass sie ein aussagekräftiges, wohldefiniertes Ergebnis mit einem . liefern Parameter für ergodische Funktionen, auch wenn diese Funktionen nicht das Ergebnis ergodischer Prozesse sind.

Andererseits können „ewige“ Signale mit einer Autokorrelation über einen kurzen Zeitraum analysiert werden, indem Integrale über eine endliche Zeit.

Mehrdimensional Autokorrelation ist ähnlich definiert. Somit führt das Autokorrelat eines quadratisch summierbaren diskreten Signals in drei Dimensionen zu

{displaystyle R(j,k,ell)=sum _{n,q,r}x_{n,q,r},x_{n-j,q-k,r-ell}}

Wenn die Mittelwerte vor der Berechnung der Autokorrelationsfunktion subtrahiert werden, wird die resultierende Funktion normalerweise zu Autokovarianzfunktion erwähnt.

Eigenschaften

In diesem Abschnitt werden nur eindimensionale Autokorrelationen beschrieben, da sich die meisten Eigenschaften leicht auf mehrdimensionale Fälle übertragen lassen.

Eine grundlegende Eigenschaft der Autokorrelation ist Symmetrie: ${Anzeigestil Skriptstil R(i) = R(-i)}$ , die sich leicht aus der Definition ableiten lässt. Im kontinuierlichen Fall ist die Autokorrelation a gleiche Funktion für den Fall, dass f ein echte Funktion ist:

{Anzeigestil R_{f}(-au)=R_{f}(au)}

und ein Hermitesche Funktion für den Fall, dass f ein komplexe Funktion Funktion ist:

{displaystyle R_{f}(-au)=R_{f}^{*}(au)}

Die kontinuierliche Autokorrelationsfunktion hat eine Spitze am Ursprung, wo sie einen reellen Wert hat. Das heißt, für jeden τ gilt ${displaystyle |R_{f}(au)| leq R_{f}(0).}$ Dies ist eine Folge der Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Das gleiche gilt für eine diskrete Funktion.
Die Autokorrelationsfunktion von a periodische Funktion ist selbst periodisch, mit der gleichen Periode.
Die Autokorrelation der Summe zweier völlig unkorrelierter Funktionen (ihre Kreuzkorrelation ist 0 für alle τ) ist die Summe der Autokorrelationen der einzelnen Funktionen.
Da die Autokorrelation eine besondere Art ist Kreuzkorrelation es behält alle Eigenschaften der Kreuzkorrelation bei.
Die Autokorrelation eines stetigen weißes Rauschen hat einen starken Peak (dargestellt durch a Deltafunktion von Dirac) Biene τ = 0, und ist für alle anderen Werte von genau 0 τ.
Das Wiener–Khinchin .Theorem liegt durch die Fourier-Analyse die Beziehung zwischen der Autokorrelationsfunktion und dem spektrale Leistungsdichte:

{displaystyle R(au)=int _{-infty}^{infty}S(f)e^{j2pi f au},{m {d}}f}

{displaystyle S(f)=int _{-infty}^{infty}R(au)e^{-j2pi fau},{m {d}}au}

Für Funktionen mit reellen Werten hat die Autokorrelationsfunktion eine symmetrische Transformation, sodass der Satz von Wiener-Khinchin auch nur in reellen Kosinus ausgedrückt werden kann:

{displaystyle R(au)=int _{-infty}^{infty}S(f)cos(2pi fau),{m {d}}f}

{displaystyle S(f)=int _{-infty}^{infty}R(au)cos(2pi fau),{m {d}}au}

Effiziente Berechnung

Bei Daten in Form einer diskreten Reihe ist es oft notwendig, die Autokorrelation schnell zu berechnen. Während Brute-Force-Methode des Auftragnein² Es gibt mehrere effiziente Algorithmen, die die Autokorrelation mit einer Ordnung berechnen können nein Log(nein). Mit dem Wiener-Khinchin-Theorem lässt sich beispielsweise die Autokorrelation aus den Rohdaten berechnen X mit zwei Schnelle Fourier-Transformationen (FFT):^[2]

{Anzeigestil F_{R}(f)={ext{FFT}}(X(t))}

{Anzeigestil S(f)=F_{R}(f){F_{R}}^{*}(f)}

{displaystyle R(au)={ext{IFFT}}(S(f))}

wobei IFFT die inverse Fast-Fourier-Transformation ist. Das Sternchen zeigt die komplex konjugiert Auf.

Anwendungen

Die Messung von optische Spektren und von sehr kurzen Lichtpulsen von Laser, unter Verwendung sogenannter optischer Autokorrelatoren.
Messung der Größenverteilung sehr kleiner Partikel von Mizellen in einem Flüssigkeit. Wie ein Laserstrahl in die Flüssigkeit scheint, wird das Licht leicht gestreut, was mit den Bewegungen der Partikel korreliert. Die Autokorrelation des Signals liefert ein Bild der Diffusionsrate der Teilchen. Als die Viskosität der Partikel bekannt ist, lässt sich daraus die Größe der Partikel berechnen.
In dem physikalische Optikoptic kann den Grad von . mit Autokorrelation und Kreuzkorrelation bestimmen Kohärenz vom Licht bestimmt. Eine weitere Anwendung davon ist die optische Kohärenztomographie (OCT), die im Augenheilkunde wird verwendet für nicht-invasiv Untersuchung der Retina.
In der Signalverarbeitung Autokorrelation Information über sich wiederholende Muster, wie z messen im Musik-, oder der Frequenz von Pulsare, obwohl die zeitPunkt der Größe kann damit nicht bestimmt werden. Die Dose auch Höhe eines Musiktons kann damit geschätzt werden.
Räumliche statt zeitabhängige Autokorrelation unter Verwendung des Patterson-Funktion wird in der verwendet Röntgenbeugung zum Wiedergewinnen der Fourier-Phaseninformation von Atompositionen, die nicht allein durch Beugung erhalten werden können.
In der Statistik wird die räumliche Autokorrelation zwischen bestimmten Positionen verwendet, um die Ungenauigkeiten der Mittelwerte bei einer heterogenen Population wird bemustert.
Der SEQUEST-Algorithmus zur Analyse Massenspektren verwendet Autokorrelation in Kombination mit Kreuzkorrelation um die Übereinstimmung zwischen den beobachteten zu finden Spektrum und ein idealisiertes Spektrum von a Peptid.
In dem Astrophysik wird Aurokorrelation verwendet, um die räumliche Verteilung von . zu untersuchen Galaxien mit Beobachtungen an verschiedenen Wellenlängen.
Im Paneldaten Mit räumlicher Autokorrelation ist die räumliche Korrelation einer Variablen mit sich selbst gemeint.

Siehe auch

Externe Links

Fußnoten

↑ ^ein ^b(und) Patrick F. Dunn, Mess- und Datenanalyse für Technik und Wissenschaft, New York: McGraw-Hill, 2005 ISBN 0-07-282538-3
↑(und) Box, G. E. P., G. M. Jenkins und G. C. Reinsel. Zeitreihenanalyse: Prognose und Kontrolle. 3. Aufl. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1994.

[dunn-1] (und) Patrick F. Dunn, Mess- und Datenanalyse für Technik und Wissenschaft, New York: McGraw-Hill, 2005 ISBN 0-07-282538-3

[2] (und) Box, G. E. P., G. M. Jenkins und G. C. Reinsel. Zeitreihenanalyse: Prognose und Kontrolle. 3. Aufl. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1994.

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